Compra de una bufanda
Problema
Una bufanda cuesta 19 rublos, pero el comprador no tiene más que billetes de tres rublos; y la cajera, sólo de cinco. ¿Puede en estas condiciones abonarse el importe de la compra, y cómo hacerlo?La misión de este problema se reduce a saber cuántos billetes de tres rublos deben entregarse a la cajera para que ella dé las vueltas con billetes de cinco, cobrando los 19 rublos. Las incógnitas del problema son dos: el número de billetes de tres rublos (x) y el número de billetes de cinco (y). Sólo puede plantearse una ecuación:
3x - 5y = 19
Aunque una ecuación con dos incógnitas tiene infinidad de soluciones, esto no quiere decir que entre ellas haya alguna en las que x e y sean números enteros y positivos (recordemos que se trata del número de billetes de banco). He aquí por qué el álgebra ha elaborado el método de solución de estas ecuaciones "indeterminadas". El mérito de haberlas introducido en el álgebra pertenece al primer sabio europeo que cultivó esta ciencia, a Diofanto, célebre matemático de la antigüedad, por lo que estas ecuaciones se llaman con frecuencia "ecuaciones de Diofanto".
SoluciónEn el ejemplo citado mostremos cómo deben resolverse tales ecuaciones. Hay que hallar el valor de x y de y en la ecuación
3x - 5y = 19
sin olvidar que tanto x cómo y son números enteros y positivos. Despejando la incógnita cuyo coeficiente es menor, es decir, 3x tendremos:
3x = 19 + 5y
de donde
x = (19 + 5y) / 3 = 6 + y + (1 + 2y) / 3
Como x, 6 e y son números enteros, la ecuación puede ser acertada sólo en el caso de que (1 + 2y) / 3 sea también un número entero. Expresémosle con la letra t. Entonces
x = 6 + y + t,
donde
t = (1 + 2y) / 3
y, por tanto,
3t = 1 + 2y , 2y = 3t - 1
De la última ecuación despejaremos la y
y = (3t - 1) / 2 = + (t - 1) / 2
Comoquiera que y y t son números enteros, (t - 1) / 2 debe ser un número entero t 1 . Por consiguiente,
y = t + t 1
y, además,
t 1 = (t - 1) / 2
de donde
2t 1 = t - 1
t = 2t 1 + 1
Sustituyamos el valor de t = 2t 1 + 1 en las igualdades anteriores:
y = t + t l = 2t 1 + 1 + t l = 3t 1 + 1
x = 6 + y + t = 6 + (3t l a - 1) + (2t 1 + 1) = 8 + 5t 1
De esta forma hemos encontrado la expresión para x y para y
x = 8 + 5t 1
y = 1 + 3t 1
Es sabido que x e y son enteros y además positivos, es decir, mayores que 0; por lo tanto,
8 + 5t 1 > 0
1 + 3t 1 > 0
De estas desigualdades resulta que
5t 1 > - 8 y t l > - 8 / 5
3t 1 > - 1 y t l > - 1 / 3
Con esto el valor t l está acotado.
De aquí que la magnitud t l es mayor que - 1 / 3, (y claro, mucho mayor que - 8 / 5). Mas, como t l es un número entero, se deduce que puede tener tan sólo los siguientes valores:
t l = 0, 1, 2, 3, 4, ...
Los valores correspondientes de x y de y son:
x = 8 + 5t 1 = 8, 13, 18, 23, ...
y = 1 + 3t 1 = 1, 4, 7, 10, ....
Veamos ahora de qué manera puede efectuarse el pago: o bien se entregan 8 billetes de 3 rublos, recibiendo de vuelta uno de cinco:
8 - 3 - 5 = 19
o se entregan 13 billetes de 3 rublos, recibiendo de vuelta 4 billetes de 5 rublos:
13 * 3 - 4 * 5 = 19
Teóricamente, este problema tiene infinidad de soluciones, pero en la práctica su número es limitado, por cuanto ni el comprador, ni la cajera tienen una cantidad ilimitada de billetes de banco. Si cada uno dispone, por ejemplo, de 10 billetes, el pago puede efectuarse sólo de una forma: entregando 8 billetes de 3 y recibiendo uno de 5. Como vemos, en la práctica las ecuaciones indeterminadas pueden dar soluciones determinadas
Volviendo a nuestro problema, proponemos al lector que, en calidad de ejercicio, resuelva por su cuenta una de las variantes: concretamente, examinar el caso en que el comprador no tenga más que billetes de 5 rublos, y la cajera, sólo de 3. En este caso aparecen las siguientes soluciones:
x = 5, 8, 11, ....
y = 2, 7, 12, ....
En efecto,
5 * 5 - 2 * 3 = 19
8 * 5 - 7 * 3 = 19
11 * 5 - 12 * 3 = 19
Podríamos obtener también estos resultados al tomar las soluciones del problema central mediante un sencillo procedimiento algebraico. Puesto que entregar billetes de cinco rublos y recibir de tres rublos equivale a "recibir billetes negativos de cinco rublos" y "dar billetes negativos de 3 rublos", la nueva variante del problema se resuelve con la ecuación planteada en el problema central:
3x - 5y = 19
pero con la condición de que x e y sean números negativos. Por eso, de las igualdades
x = 8 + 5t 1
y = 1 + 3t 1
sabiendo que x < 0 e y < 0, deducimos:
8 + 5t 1 < 0
1 + 3t 1 < 0
y, por consiguiente,
t 1 < - 8 / 5
Tomando t 1 = - 2, - 3, - 4, etc., obtenemos de las fórmulas anteriores, los siguientes valores para x e y
t 1 = - 2 - 3 - 4
x = - 2 - 7 - 12
y = - 5 - 8 - 11
El primer par de soluciones, x = - 2, y = - 5, significa que el comprador "paga menos dos billetes de tres rublos" y "recibe menos cinco billetes de cinco", es decir, traducido al idioma común, quiere decir que paga con cinco billetes de a cinco, recibiendo como vuelta 2 billetes de a tres. De esta misma manera interpretaremos también las demás soluciones.
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miércoles, 18 de junio de 2008
lunes, 16 de junio de 2008
trabajo de logica y teoria de conjuntos...
Por: Geoffrey Gomez[1]
LOGICA ANTIGUA:
La lógica antigua, hereada por Aristóteles, se apoyaba en tres principios simples: el principio de identidad (A = A), el principio de exclusión ( no-A no es igual a A) y el principio de contradicción (un mismo concepto no puede ser definido simultáneamente como A y como no-A). Estos principios son declarados verdaderos a priori, en todo tiempo y lugar, es decir, que preexisten al razonamiento humano. Así se introduce en el pensamiento europeo la distinción entre verdades de experiencia, fruto de la observación de la realidad física, y verdades formales, deducidas de la reflexión intelectual de ciertas leyes eternas, las "nociones comunes" de Aristóteles o los "principios evidentes" de Descartes.
LOGICA MODERNA:
Hacia la mitad del S. XIX, la lógica se transforma radicalmente en lógica matemática. Esto se debió a que se realizaron encuentro de cuatro corrientes distintas:
1.- La lógica aristotélica.2.- La idea de un lenguaje matematico universal.
3.- Los progresos de álgebra y la geometría.
4.- La concepción de amplios sectores de la matemática como sistema deductivo, lo cual conducía a la necesidad de construir "la lógica de la matemática".
Esta lógica se inicia con The Mathematical Analysis of Logic (1847), de G. Boole, "Ensayo acerca de un cálculo del razonamiento deductivo" que indica como la lógica aparece como un cálculo algebraico; se produce a una completa simbolización; los enunciados lógicos son concebidos como ecuaciones, y se formulan leyes lógicas. Boole desarrolla la lógica de clases y la lógica proposicional. El álgebra se convierte en modelo de la lógica. Y el cálculo que crea Boole es totalmente artificial. Más tarde, Ch.S. Peirce hará aportaciones: la lógica de relaciones, el método de matrices (o tablas de verdad) y nuevos desarrollos de la lógica proposicional.
Así pues, la nueva lógica surge de la aplicación de los métodos matemáticos a la lógica antigua. Por eso se puede decir que se abre un nuevo período, cuando las matemáticas se convierte en objeto de lógica.
LÓGICA EN LOS ÚLTIMOS TIEMPOS
La propuesta de Newton Da Costa empata, con la propuesta del pensador francés, ciudadano del mundo, Edgar Morin, quien ha buscado durante el último medio siglo la formulación de un “paradigma de la complejidad”, que reconozca la interretrorelación íntima, profunda, que existe en todo en el universo, que responda a la necesidad de pensar, retomando a Pascal, el todo así como “particularmente” cada una de las partes, es decir, pensar todo y el todo mismo así como sus partes, tejidas en conjunto. Este pensamiento demanda una nueva lógica que pueda pensar sin trivializarse, lo concurrente, lo complementario y lo antagónico; una lógica que pueda pensar la naturaleza, el cosmos y la vida misma en su dinamicidad, que conciba, contrario al planteamiento de Hegel, la lógica como una astucia de la naturaleza, del cosmos, de la vida y no a la naturaleza, al cosmos, a la vida como una astucia de la lógica.
PROPOSICIONES Y OPERACIONES LÓGICAS.
Una proposición o enunciado es una oración que puede ser falsa o verdadera pero no ambas a la vez. La proposición es un elemento fundamental de la lógica matemática.
A continuación se tienen algunos ejemplos de proposiciones válidas y no válidas, y se explica el porqué algunos enunciados no son proposiciones. Las proposiciones se indican por medio de una letra minúscula, dos puntos y la proposición propiamente dicha. Ejemplo.
p: La tierra es plana.
q: -17 + 38 = 21
r: x > y-9
s: El Morelia será campeón en la presente temporada de Fut-Bol.
t: Hola ¿como estas?
w: Lava el coche por favor.
Los incisos p y q sabemos que pueden tomar un valor de falso o verdadero; por lo tanto son proposiciones validas. El inciso r también es una proposición valida, aunque el valor de falso o verdadero depende del valor asignado a las variables x y y en determinado momento. La proposición del inciso s también esta perfectamente expresada aunque para decir si es falsa o verdadera se tendría que esperar a que terminara la temporada de fut-boll. Sin embargo los enunciados t y w no son válidos, ya que no pueden tomar un valor de falso o verdadero, uno de ellos es un saludo y el otro es una orden.
ÁLGEBRA ABSTRACTA
El álgebra abstracta es el campo de la matemática que estudia las estructuras algebraicas como las de grupo, anillo, cuerpo o espacio vectorial. Muchas de estas estructuras fueron definidas formalmente en el siglo XIX, y, de hecho, el estudio del álgebra abstracta fue motivado por la necesidad de más exactitud en las definiciones matemáticas. El estudio del álgebra abstracta ha permitido observar con claridad lo intrínseco de las afirmaciones lógicas en las que se basan todas la matemática y las ciencias naturales, y se usa hoy en día prácticamente en todas las ramas de la matemática. Además, a lo largo de la historia, los algebristas descubrieron que estructuras lógicas aparentemente diferentes muy a menudo pueden caracterizarse de la misma forma con un pequeño conjunto de axiomas.
El término álgebra abstracta se usa para distinguir este campo del álgebra elemental o del álgebra de la escuela secundaria que muestra las reglas correctas para manipular fórmulas y expresiones algebraicas que conciernen a los números reales y números complejos. El álgebra abstracta fue conocida durante la primera mitad del siglo XX como álgebra moderna.
La logica es, ha sido y sera la piera angular de todas las bases del conocimiento humano. Como opinion personal la Logica matematica ha sido un excelente complemento no solo para mi estudios de Licenciatura en Matematicas sino un complemento para mi forma e ver la vida en todos sus aspectos, el estudio de logica nos abre el camino e la facilidad del entendimiento y es herramienta necesaria y casi que suficiente para quiees desean no solo estudiar matematicas sino llegar algun dia a ser unos excelentes matematicos...
Bibliografía
· Wikipedia.org
· Biblioteca.itam.mx
· nonopp.com
.
En cuanto a la lógica, sus silogismos más bien sirven para explicar a otros las cosas ya sabidas, que para aprender.
René Descartes (1596-1650) Filósofo y matemático francés.
[1] Geoffrey Gómez Peña
Estudiante del Programa de Licenciatura en Matemáticas.
Universidad Surcolombiana.
Lógica y Teoría de Conjuntos.Profesora Martha Mosquera Urrutia.
LOGICA ANTIGUA:
La lógica antigua, hereada por Aristóteles, se apoyaba en tres principios simples: el principio de identidad (A = A), el principio de exclusión ( no-A no es igual a A) y el principio de contradicción (un mismo concepto no puede ser definido simultáneamente como A y como no-A). Estos principios son declarados verdaderos a priori, en todo tiempo y lugar, es decir, que preexisten al razonamiento humano. Así se introduce en el pensamiento europeo la distinción entre verdades de experiencia, fruto de la observación de la realidad física, y verdades formales, deducidas de la reflexión intelectual de ciertas leyes eternas, las "nociones comunes" de Aristóteles o los "principios evidentes" de Descartes.
LOGICA MODERNA:
Hacia la mitad del S. XIX, la lógica se transforma radicalmente en lógica matemática. Esto se debió a que se realizaron encuentro de cuatro corrientes distintas:
1.- La lógica aristotélica.2.- La idea de un lenguaje matematico universal.
3.- Los progresos de álgebra y la geometría.
4.- La concepción de amplios sectores de la matemática como sistema deductivo, lo cual conducía a la necesidad de construir "la lógica de la matemática".
Esta lógica se inicia con The Mathematical Analysis of Logic (1847), de G. Boole, "Ensayo acerca de un cálculo del razonamiento deductivo" que indica como la lógica aparece como un cálculo algebraico; se produce a una completa simbolización; los enunciados lógicos son concebidos como ecuaciones, y se formulan leyes lógicas. Boole desarrolla la lógica de clases y la lógica proposicional. El álgebra se convierte en modelo de la lógica. Y el cálculo que crea Boole es totalmente artificial. Más tarde, Ch.S. Peirce hará aportaciones: la lógica de relaciones, el método de matrices (o tablas de verdad) y nuevos desarrollos de la lógica proposicional.
Así pues, la nueva lógica surge de la aplicación de los métodos matemáticos a la lógica antigua. Por eso se puede decir que se abre un nuevo período, cuando las matemáticas se convierte en objeto de lógica.
LÓGICA EN LOS ÚLTIMOS TIEMPOS
La propuesta de Newton Da Costa empata, con la propuesta del pensador francés, ciudadano del mundo, Edgar Morin, quien ha buscado durante el último medio siglo la formulación de un “paradigma de la complejidad”, que reconozca la interretrorelación íntima, profunda, que existe en todo en el universo, que responda a la necesidad de pensar, retomando a Pascal, el todo así como “particularmente” cada una de las partes, es decir, pensar todo y el todo mismo así como sus partes, tejidas en conjunto. Este pensamiento demanda una nueva lógica que pueda pensar sin trivializarse, lo concurrente, lo complementario y lo antagónico; una lógica que pueda pensar la naturaleza, el cosmos y la vida misma en su dinamicidad, que conciba, contrario al planteamiento de Hegel, la lógica como una astucia de la naturaleza, del cosmos, de la vida y no a la naturaleza, al cosmos, a la vida como una astucia de la lógica.
PROPOSICIONES Y OPERACIONES LÓGICAS.
Una proposición o enunciado es una oración que puede ser falsa o verdadera pero no ambas a la vez. La proposición es un elemento fundamental de la lógica matemática.
A continuación se tienen algunos ejemplos de proposiciones válidas y no válidas, y se explica el porqué algunos enunciados no son proposiciones. Las proposiciones se indican por medio de una letra minúscula, dos puntos y la proposición propiamente dicha. Ejemplo.
p: La tierra es plana.
q: -17 + 38 = 21
r: x > y-9
s: El Morelia será campeón en la presente temporada de Fut-Bol.
t: Hola ¿como estas?
w: Lava el coche por favor.
Los incisos p y q sabemos que pueden tomar un valor de falso o verdadero; por lo tanto son proposiciones validas. El inciso r también es una proposición valida, aunque el valor de falso o verdadero depende del valor asignado a las variables x y y en determinado momento. La proposición del inciso s también esta perfectamente expresada aunque para decir si es falsa o verdadera se tendría que esperar a que terminara la temporada de fut-boll. Sin embargo los enunciados t y w no son válidos, ya que no pueden tomar un valor de falso o verdadero, uno de ellos es un saludo y el otro es una orden.
ÁLGEBRA ABSTRACTA
El álgebra abstracta es el campo de la matemática que estudia las estructuras algebraicas como las de grupo, anillo, cuerpo o espacio vectorial. Muchas de estas estructuras fueron definidas formalmente en el siglo XIX, y, de hecho, el estudio del álgebra abstracta fue motivado por la necesidad de más exactitud en las definiciones matemáticas. El estudio del álgebra abstracta ha permitido observar con claridad lo intrínseco de las afirmaciones lógicas en las que se basan todas la matemática y las ciencias naturales, y se usa hoy en día prácticamente en todas las ramas de la matemática. Además, a lo largo de la historia, los algebristas descubrieron que estructuras lógicas aparentemente diferentes muy a menudo pueden caracterizarse de la misma forma con un pequeño conjunto de axiomas.
El término álgebra abstracta se usa para distinguir este campo del álgebra elemental o del álgebra de la escuela secundaria que muestra las reglas correctas para manipular fórmulas y expresiones algebraicas que conciernen a los números reales y números complejos. El álgebra abstracta fue conocida durante la primera mitad del siglo XX como álgebra moderna.
La logica es, ha sido y sera la piera angular de todas las bases del conocimiento humano. Como opinion personal la Logica matematica ha sido un excelente complemento no solo para mi estudios de Licenciatura en Matematicas sino un complemento para mi forma e ver la vida en todos sus aspectos, el estudio de logica nos abre el camino e la facilidad del entendimiento y es herramienta necesaria y casi que suficiente para quiees desean no solo estudiar matematicas sino llegar algun dia a ser unos excelentes matematicos...
Bibliografía
· Wikipedia.org
· Biblioteca.itam.mx
· nonopp.com
.
En cuanto a la lógica, sus silogismos más bien sirven para explicar a otros las cosas ya sabidas, que para aprender.
René Descartes (1596-1650) Filósofo y matemático francés.
[1] Geoffrey Gómez Peña
Estudiante del Programa de Licenciatura en Matemáticas.
Universidad Surcolombiana.
Lógica y Teoría de Conjuntos.Profesora Martha Mosquera Urrutia.
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